张甜甜——三角恒等变换中“1”的妙用

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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三角恒等变换中“1”的妙用

山西省垣曲中学    张甜甜

《三角恒等变换》是人教A版必修四中的重要一章，其特点是公式繁多，联系紧密，变化无穷，大量的化简、变形、求值等问题经常会搞得初学的高一学生焦头烂额。但这也是这一章的特点，抓住公式之间的必然联系，因果规律，从某些“必然”的角度看待，能发现许多化简、变形、求值的方向，从而轻松搞定，比如在恒等变换中高频率出现的常数“1”，课本的例题就有很多，我们今天来梳理一些它的“用法”。

应用一、化为特殊角的三角函数值

这是课本上的解法，利用π/4的正切值是1，正好凑成了两角和的正切公式，从而求值，围绕这一思路，根据形式需求，凑成其它特殊角的其它三角函数值也是可以的。

应用二、同角正余弦的平方和的正逆运用

应用三、造齐次式，快速求值

如果一般情形下，由3sinα=-cosα定可求出sinα,cosα的值，代入即可，这样的话运算量较大。巧用“1”将分子分母都凑成关于“弦”的二次“齐次式”，可同时约去cos²α，从而大大地简化了计算。

  应用四、在二倍角余弦的化简中因势利导，凑足形式

很明显，两个证明从左到右的共同特征是角的缩小，所以证明方向必为“缩角升幂”。众所周知，二倍角的余弦展开缩角有三种变形cos2α=2cos²α-1=1-2sin²α= cos²α-sin²α，但实际中用哪种其实不用彷徨，根据形式的不同，在两例题中分别用不同的变形最快消去常数“1”，达到了化为齐次的效果，或者凑成完全平方公式的形式，为下一步化简铺平道路。

以上是我对常数“1”的几种用法的感悟和总结，或许不够全面。上述例题虽然几乎都是课本上的练习题，难度并不大，但作为师者我们应该多做研究，给学生这样思维方向上的指导，我想才能让学生达到更高的高度。

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